Integral Transform Methods

Nach der Teilnahme an der Veranstaltung ist der Studierende in der Lage, die mathematischen Grundlagen der Integraltransformation sowie die die mechanischen Systeme beschreibenden Differentialgleichungen zu verstehen. Nach dem Besuch der angebotenen EDV-Seminare ist er in der Lage, die Methode der Integraltransformation auf die genannten Differentialgleichungen bzw. Systeme von Differentialgleichungen sowohl manuell als auch mit Hilfe von Computeralgebrasystemen anzuwenden und die Ergebnisse zu analysieren. Nach der Bearbeitung der angebotenen Aufgabenblätter ist der Studierende in der Lage, die erlernten Methoden hinsichtlich ihrer Anwendbarkeit auf die genannten mechanischen Aufgabenstellungen, wie z.B. die dynamische Berechnung von Ein- und Mehrfreiheitsgradsystemen unter verschiedenen zeitabhängigen Lasten und unter Berücksichtigung von Anfangsbedingungen zu bewerten und spezifisch einzusetzen.

In diesem Modul werden Integral Transformationsmethoden (ITM) behandelt wobei der Schwerpunkt auf der Laplace- , der Fourier, der z- und der Wavelet- Transformation liegt. Die mathematischen Beziehungen werden hergeleitet und es werden Anwendungen für die Lösung von ODEs, PDEs und Systemen von Differentialgleichungen besprochen.
Mechanische Aufgabenstellungen aus dem Gebiet des Bauingenieurwesens werden den Differentialgleichungen zugeordnet und mit Hilfe der ITM gelöst.
Sowohl die analytische Umsetzung in Computeralgebrasystemen als auch Numerische Programmbeispiele werden behandelt und in Computer-Seminaren geübt.
Effekte (Fehler) im Rahmen von diskreten Transformationen werden diskutiert und Möglichkeiten der Behebung aufgezeigt.

Inhalt:
Allgemein: Wiederholung/Herleitung der Bewegungsdifferentialgleichungen
- Gewöhnliche Differentialgleichung: Einfreiheitsgradsystem (SDOF)
- System gewöhnlicher Differentialgleichungen: Mehrfreiheitsgradsysteme (MDOF)
- Partielle Differentialgleichung: Biegebalken mit verteilter Masse und Biegesteifigkeit
- System partieller Differentialgleichungen: Homogener Halbraum
- Anfangsbedingungen und Lasten
- Wiederholung: Komplexe Zahlen
- Eulersche Identität usw.
- Einführung von Begriffen (Orthogonalität, Integrabilität, usw.)
- Einführung von Funktionen/Distributionen (Diracsche δ-Funktion, Impulskamm, Heaviside-Funktion usw.)

Laplace Transformation:
- Einführung von Begriffen in Zusammenhang mit Integraltransformationsmethoden (Kern, Originalraum, Bildraum usw.)
- Transformationsbeziehungen und Rechenregeln
- Differentiation im Bildraum, Verschiebungssatz, Faltung-Multiplikation usw.
- Transformation von Differentialgleichungen (Vorteile der Methode bei der Lösung von DGLs)
- Beispiele
- Rücktransformation mittels Partialbruchzerlegung
- Systeme gewöhnlicher DGLs n-ter Ordnung (Beispiel: MDOF)
- Übertragungsfunktion, Impulsantwort
- Rücktransformation (Komplexe Umkehrformel, Cauchy´scher Hauptwert, Residuensatz)
- Partielle Differentialgleichungen (Beispiel: Wellengleichung)

Fourier Transformation:
- Transformationsbeziehungen und Rechenregeln
- Wichtige Transformationspaare
- Differentiation im Bildraum, Verschiebungssatz, Faltung-Multiplikation usw.*
- Transformation von Differentialgleichungen*
- Vorteile der Methode bei der Lösung von DGLs
- Gewöhnliche DGLs n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
- Übertragungsfunktion
- Multiplikation und Faltung
- System partieller Differentialgleichungen
- Helmholtz-Zerlegung und Homogener Halbraum

Diskrete Fourier Transformation
- Diskrete FT und Diskrete IFT
- FFT/IFFT-Algorithmus
- Ausblick: Wavelet-Transformation
- Fensterung, Filterung
- Aliasing